Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp chuẩn xác 100%

Kiến thức hình học lớp 9 luôn khiến các bạn học sinh phải đau đầu vì chúng khá khó và yêu cầu có sự tư duy cao. Trong đó đường tròn ngoại tiếp tam giác là một trong những kiến thức khá khó học nhưng lại rất thường gặp trong bài thi. Trong bài viết này, trường THPT Lê Hồng Phong sẽ gửi đến các em học sinh lớp 9 kiến thức về phần hình học này. Cụ thể là cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp chuẩn xác nhất mà ai cùng nên biết. Cùng xem ngay nhé!

Tâm đường tròn ngoại tiếp trong tam giác là gì?

Để có thể hiểu rõ và biết cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, đầu tiên chúng ta sẽ đi tìm hiểu khái niệm và tính chất của nó ngay sau đây.

1. Khái niệm

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác bất kỳ. Giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác sẽ tạo thành tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Hay nó còn thường được gọi là tam giác nội tiếp của hình tròn.

Chẳng hạn, ta có ví dụ sau:

Đường trung trực của AB là đường thẳng đi qua trung điểm F của đoạn thẳng AB và vuông góc với đoạn thẳng AB. Mọi điểm I mà thuộc trung trực của đoạn thẳng AB đều bằng nhau IA = IB.

Có thể thấy rằng, ba đường trung trực tam giác ABC thì đồng quy tại một điểm. Gọi I là điểm giao của ba đường trung trực trong giam giác ABC thì ta sẽ có đoạn thẳng IA = đoạn thẳng IB = đoạn thẳng IC. Vì vậy mà I là tâm đường tròn nt tam giác đó.

2. Tính chất của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Đường tròn ngoại tiếp tam giác có một số tính chất như sau:

• Mọi tam giác đều chỉ có một đường tròn ngoại tiếp duy nhất.
• Giao điểm của ba đường phân giác vuông góc của tam giác đóng vai trò là tâm đường tròn nt tam giác và bán kính của chu vi của nó được xác định bằng khoảng cách giữa ba đỉnh của nó.
• Chính giữa cạnh huyền đóng vai trò là tâm của đường tròn nt tam giác vuông.
• Tâm đường tròn có chung đường tròn nt tam giác và đường tròn nội tiếp tam giác đều.

Chẳng hạn: Cho ΔNMP cân tại N, nội tiếp đường tròn (O), đường cao NH cắt (O) ở K. Vì sao NK là đường kính của (O)?

Lời giải: Vì tâm O là giao điểm của 3 đường trung trực của  tam giác NMP mà  tam giác NMP cân ở N nên đường cao NH cũng chính là trung trực ⇒ O ∈ NH

Nên: NK là dây qua tâm ⇒ Suy ra: NK là đường kính của đường tròn O

2 cách xác định tâm đường tròn ngoại tiết tam giác

Để có thể xác định được tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cần lưu ý một số điểm sau:

• Tam giác có 3 đỉnh cách đều 1 điểm thì điểm đó chính là tâm của đường tròn nt tam giác đó.
• Quỹ tích của các điểm nhìn sang đoạn thẳng AB với một góc vuông sẽ là đường tròn có đường kính AB

Ta có 2 cách để có thể xác định được tâm của đường tròn nt tam giác là:

1. Cách 1

Bước 1: Gọi K(x;y) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác EFJ. Ta có các đoạn thẳng KE = KF = KJ và bằng bán kính R

Bước 2: Tọa độ tâm K là nghiệm của hệ phương trình:

KE bình phương = KF bình phương

KE bình phương = KJ  bình phương

2. Cách 2

Bước 1: Tìm và viết được các phương trình đường trung trực của hai cạnh trong tam giác bất kỳ.

Bước 2: Sau đó, tìm giao điểm của hai đường trung trực đã tìm ra ở bước 1 và giao điểm của hai đường trung trực chính là tâm đường tròn nt tam giác đó.

Tóm lại, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác NMP cân tại N nằm trên đường cao NH và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A là trung điểm cạnh huyền BC.

Để có thể xác định được tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác theo cách 2, ta cần tìm được phương trình của đường tròn nt tam giác khi biết tọa độ 3 đỉnh. Để có thể giải được bài toán về phương trình đường tròn của nt tam giác ta thực hiện theo các bước như sau:

Bước 1: Đầu tiên, ta thay tọa độ mỗi đỉnh của tam giác vào phương trình với ẩn a,b,c (Bởi vì các đỉnh của tam giác thuộc đường tròn nt, vì vậy, tọa độ các đỉnh trong tam giác thỏa mãn phương trình đường tròn nt mà ta cần tìm)

Bước 2: Giải hệ phương trình để tìm ra các hằng số a,b,c tương ứng với các đỉnh trong tam giác.

Bước 3: Tiếp theo, ta thay giá trị vừa tìm được như a,b,c vào phương trình tổng quát để tìm ra phương trình đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

Bước 4: Do đỉnh của tam giác thuộc đường tròn ngoại tiếp nên ta có hệ phương trình sau:

x(A) bình phương + y(A) bình phương – 2ax(A) – 2by(A) + c = 0
x(B) bình phương + y(B) bình phương – 2ax(B) – 2by(B) + c = 0
x(C) bình phương + y(C) bình phương – 2ax(C) – 2by(C) + c = 0

=> Giải hệ phương trình trên ta sẽ tìm được các hằng số a, b, c.

Một số bài tập áp dụng xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Sau khi đã hiểu được cách xác định, cùng thử áp dụng xuống một số bài tập dưới đây nhé:

1. Bài tập 1

Bài tập số 1: Hãy xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Biết rằng tam giác ABC là tam giá đều với các cạnh có kích thước là 6cm.

Hướng dẫn giải

Gọi lần lược các điểm D là trung điểm của cạnh BC; điểm E là trung điểm của cạnh AB. Ta gọi giảm điểm của đoạn thẳng AD sẽ giao với cạnh CE là điểm O

Do tam giác ABC đều nên đường trung tuyến đồng thời cũng là đường cao, đường phân giác và đường trung trực của tam giác ABC.

Từ những điều trên, điểm O chính là giao điểm của 3 đường trung trực nên ta có thể suy ra O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Tam giác ABC có CE là đường trung tuyến => CE cũng chính là đường cao.

Áp dụng định lý Py ta go trong tam giác vuông AEC ta có:

CE^2 = AC^2 – AE^2 = 36 – 9 = 25 suy ra CE = 5.

Bên cạnh đó ta có điểm O là trọng tâm của tam giác ABC nên suy ra: CO = 2/3 CE = 2/3 x 5 = 10/3.

Như vậy, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có trọng tâm O và bán kính là OC = 10/3.

2. Bài tập 2

Bài tập số 2: Cho tam giác ABC cân tại A, có đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại giao điểm H. Hãy chứng minh tứ giác AEHF là một tứ giác nội tiếp và xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp của tứ giác AEHF đó.

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của cạnh AH. Bên cạnh đó, HF vuông góc với AF (theo đề bài ra) nên suy ra tam giác AFH vuông tại điểm F.

Điểm I là trung điểm của cạnh huyền AH từ đó ta có độ dài IA = IF = IH (1).

Ta có cạnh HE vuông góc với AE (căn cứ theo giả thiết đề bài đã ra).

Từ đó suy ra tam giác AEH là tam giác vuông tại điểm E. Điểm I là trung điểm của cạnh huyền AH.

IA = IF = IH (2)

Từ (1) và (2) suy ra được IA = IF = IH = IE. Vậy điểm I cách đều bốn đỉnh là A, E, H và F. Từ đó ta ta có tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn có điểm I là tâm với I là trung điểm của cạnh huyền AH

3. Bài tập 3

Bài tập 3: Hãy tìm toạ độ tâm của đường tròn nt của tam giác ABC. Biết rằng các điểm của tam giác ABC lần lượt có tọa độ là A(1;2), B(-1; 0), C(3;2).

Ta gọi điểm I có toạ độ là (x; y) là tâm của đường tròn nt tam giác ABC.

4. Một số bài tập tự giải cho học sinh luyện thêm

Bài tập số 1

Cho tam giác ABC có 2 đường cao AD và BE cắt nhau tại điểm H và cắt đường tròn O ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm lần lượt tại điểm I và K. Yêu cầu:

Chứng minh rằng tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn. Hyax xác định tâm của đường tròn nt tứ giác đó.

Chứng minh rằng tam giác CIK cân.

Bài tập số 2 

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp với đường tròn O có tâm là điểm R. Theo đó, ba đường của tam giác là AF, BE và CD cắt nhau tại điểm H. Chứng minh rằng tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn và hãy xác định tâm của đường tròn nt tứ giác BDCE đó.

Bài tập số 3

Cho một tam giác ABC cân tại điểm A, có 2 cạnh AB = AC nội tiếp đường tròn tâm O. Đồng thời, các đường cao AQ, BE, CF cắt nhau tại một điểm.

Chứng minh tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn. Hãy xác định tâm của đường tròn nt đó

Cho bán kính của đường tròn = 2cm, góc BAC = 50 độ. Hãy tính độ dài cung EHF của đường tròn tâm I và diện tích của hình quạt tròn IEHF.

Bài tập số 4

Cho các đường cao AD, BE của tam giác ABC cắt nhau tại giao điểm H (với góc C là góc không vuông) và cắt đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại I và K.

a, Chứng minh rằng tứ giác CDHE là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm của đường tròn nt tứ giác đó

b, Chứng minh tằng tam giác CIK là tam giác cân

Bài tập số 5

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R). Ba đường của tam giác là AF, BE và CD cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác BDEC là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn nt tứ giác

Bài tập số 6

Cho tam giác ABC vuông tại A , có cạnh AB < AC và đường cao AH (điểm H thuộc cạnh huyền BC). Lấy điểm D thỏa mãn điều kiện H là trung điểm của BD. Gọi điểm E là chân đường vuông góc hạ từ điểm C xuống đường thẳng AD. Chứng minh rằng tứ giác AHEC nội tiếp và hãy xác định vị trí tâm O của đường tròn nt tứ giác AHEC.

Bài tập số 7

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) (điều kiện đoạn AB < AC). Gọi điểm  H là giao điểm của các đường cao AI, BM, CN của tam giác ABC. Đường thẳng BC giao với đường thẳng MN tại D. Hãy chứng minh rằng là tứ giác BNMC nội tiếp. Hãy xác định tâm K của đường tròn trên.

Bài tập số 8

Cho tam giác EFJ vuông tại E có EF < EJ, đường cao EH (H thuộc EJ). Lấy điểm D sao cho H là trung điểm của FD. Gọi A là chân đường vuông góc hạ từ J xuống đường thẳng ED. Chứng minh tứ giác EHAJ nội tiếp và xác định vị trí tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

Lời kết

Trên đây là toàn bộ kiến thức các em học sinh cần nắm được về xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Hy vọng rằng với bài viết trên sẽ giúp các em học sinh có thêm kiến thức cần thiết để giải quyết các dạng bài tập liên quan và đạt kết quả cao trong các kì thi sắp tới. Đừng quên thường xuyên ghé thăm website của trường cấp 3 Lê Hồng Phong để cập nhật thêm nhiều tin tức bổ ích khác nữa nhé!