Toán 9: Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp

2. Định lý

+ Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.

+ Tâm của hai đường tròn này trùng nhau và được gọi là tâm của đa giác đều.

+ Tâm này là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh hoặc là hai đường phân giác của hai góc.

3. Mở rộng

+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đến đỉnh.

+ Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm O đến 1 cạnh.

+ Cho n_ giác đều cạnh a. Khi đó:

– Chu vi của đa giác: 2p = na (p là nửa chu vi).

– Mỗi góc ở đỉnh của đa giác có số đo bằng

– Mỗi góc ở tâm của đa giác có số đo bằng 360°/n.

– Bán kính đường tròn ngoại tiếp:

– Bán kính đường tròn nội tiếp:

– Liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp:

– Diện tích đa giác đều:

II. Bài tập minh họa

Bài 61 – 91 SGK Toán 9 Tập 2:

a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.

b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) ở câu a).

c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O; r).

Lời giải

a) Cách vẽ:

– Chọn điểm O làm tâm, mở compa có độ dài 2cm, vẽ đường tròn tâm O bán kính 2cm.

b) Cách vẽ:

– Vẽ đường kính AC và BD vuông góc với nhau

– Nối A với B, B với C, C với D, D với A ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn (O; 2cm).

c)

Kẻ OH vuông góc với AD tại H

Khi đó, OH = r là bán kính của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.

Vì AB = BC = CD = DA (do ABCD là hình vuông)

nên khoảng cách từ tâm O đến AB, BC, CD, DA bằng nhau và cùng bằng OH (định lý liên hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây)

Ta có: Tam giác OAD vuông tại O (do AC vuông góc với BD tại O)

Mà: OA = OD (cùng bằng bán kính đường tròn (O; OA))

Do đó, tam giác OAD vuông cân tại O

Có: OH là đường cao (do OH vuông góc với AD tại H) vừa là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

Lời giải

a) Vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 3cm (dùng thước thẳng và compa).

+ Dựng đoạn thẳng AB = 3cm .

+Dựng cung tròn (A, 3) và cung tròn (B, 3). Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm C.

Nối A với C, B với C ta được tam giác đều ABC cạnh 3cm.

Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB

Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời là ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba đường phân giác AA’, BB’, CC’ của tam giác đều ABC)

Dựng đường trung trực của đoạn thẳng BC và CA

Hai đường trung trực cắt nhau tại O

Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R = OA = OB = OC ta được đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Tính AA’:

Xét tam giác AA’C vuông tại A’ (do AA’ là đường cao)

Có: AC = 3cm

c)

Do tam giác ABC là tam giác đều các trung điểm A’; B’; C’ của các cạnh BC; CA; AB đồng thời là chân đường phân giác hạ từ A, B, C đến BC, AC, AB.

Đường tròn nội tiếp tam giác (O; r) tiếp xúc ba cạnh của tam giác đều ABC tại các trung điểm A’, B’, C’  của các cạnh.

r = OA’ = OB’ = OC’

Vậy đường tròn (O; r) là đường tròn tâm O và bán kính r = OA’ = OB’ = OC’.

Theo cách dựng, ta có O cũng là trọng tâm tam giác ABC (giao điểm của ba đường trung tuyến)

d)

Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn (O; R) tại A, B, C. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại I, J, K.

Ta có: Tam giác IJK là tam giác đều ngoại tiếp (O; R).

Bài 63 – 92 SGK Toán 9 Tập 2:

Vẽ hình lục giác đều, hình vuông, tam giác đều cùng nội tiếp đường tròn (O; R) rồi tính cạnh của các hình đó theo R.

Lời giải

a)

* Vẽ lục giác đều nội tiếp (O; R) :

c)

* Vẽ tam giác đều:

Chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau như phần a).

Nối các điểm như hình vẽ ta được tam giác đều nội tiếp đường tròn.

* Tính cạnh tam giác:

Gọi cạnh ΔABC đều là a.

Gọi H là trung điểm BC

Bài 64 – 92 SGK Toán 9 Tập 2:

Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm A, ba cung AB, BC, CD sao cho

a) Tứ giác ABCD là hình gì?

b) Chứng minh rằng hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau.

c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R

Lời giải