Căn bậc hai là gì? Công thức tính căn bậc 2 và bài tập toán 9

Căn bậc hai bài học đầu tiện trong chương trình trong chương trình toán đại số lớp 9. Đây là một trong những phần kiến thức nền tảng của môn này.

Căn bặc hai là gì? Cách tính? Các dạng bài tập về căn bậc hai.

Vậy căn bậc hai là gì? Công thức viết như thế nào? Có dạng toán ra sao? Cách giải? Ngày hôm nay chúng ta sẽ cùng trả lời những câu hỏi trên, tìm hiểu sâu về căn bậc hai thông qua bài viết dưới đây.

Lý thuyết về căn bậc hai.

1. Định nghĩa: Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho x² = a.

2. Ký hiệu:

• a > 0: ⇒ : Căn bậc hai của số a
  ⇒ – : Căn bậc hai âm của số a
• a = 0: 

3. Chú ý: Với a ≥ 0: 

4. Căn bậc hai số học:

• Với a ≥ 0: số  được gọi là CBHSH của a
• Phép khi phương là phép toán tìm CBHSH của số a không âm.

5. So sánh các CBHSH: Với a ≥ 0, b ≥ 0: 

Chú ý: Căn bậc hai số học của một số a không âm là √a

+ Nếu a > b ≥ 0 => √a > √b

Các dạng bài tập của căn bậc hai

Dạng 1: Tìm căn bậc hai, căn bậc hai số học của một số cho trước.

Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa chỉ có số thực không âm mới có căn bậc hai.

Nếu a > 0 thì căn bậc hai của a là ±√a và căn bậc hai số học của a là √a.

Nếu a = 0 thì căn bậc hai của a bằng 0.

Nếu a âm thì a không có căn bậc hai.

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học của các số sau:

a) 16            b) 0             c) 0,25         d)   

Lời giải:

a) Căn bậc hai của 16 là 4 và -4 vì 4² = 16 và (-4)² = 16

Căn bậc hai số học của 16 là  4

b) Căn bậc hai của 0 là 0 vì 0² = 0

Căn bậc hai số học của 0 là 0.

c) Căn bậc hai của 0,25 là 0,5 và –0,5 vì 0,5² = 0,25 và (-0,5)² = 0,25

Căn bậc hai số học của 0,25 là  0,5

d) Căn bậc hai của

Căn bậc hai số học của 

Dạng 2: Tìm một số khi biết căn bậc hai số học cho trước.

Phương pháp giải: Với số thực không âm a cho trước ta luôn có số  là số có căn bậc hai số học bằng a.

Ví dụ 1: Mỗi số sau đây là căn bậc hai số học của số nào?

a) 0,7                b) 7                    c)                 d) √13

Lời giải:

a) Ta có: (0,7)² = 0,49 nên 0,49 là số có căn bậc hai số học là 0,7

b) Ta có 7² nên 49 là số có căn bậc hai số học là 7

c) Ta có  nên là số có căn bậc hai số học là 

d) Ta có (√13)² = 13 nên 13 là số có căn bậc hai số học là √13

Dạng 3: So sánh căn bậc hai số học.

Phương pháp giải: Nếu 0 ≤ a < b ⇔ 0 ≤ √a < √b

Ví dụ 1: So sánh các số sau

a) 3 và 2√2                                                          b) 4 và √14 + 1

Lời giải:

a) Ta có: 3² = 9 và (2√2)² = 2².2 = 4.2 = 8

Vì 9 > 8 nên √9 > √8

=> 3 > 2√2

b) Ta có: 4 = 3 + 1 vậy để so sánh 4 và √14 + 1 ta đi so sánh 3 và √14

3² =  9. Vì 14 > 9 nên √14 > √19 => √14 > 3 => √14 + 1 > 3 + 1 => √14 + 1 > 4

Ví dụ 2: Tìm số lớn nhất trong các số sau: √14; 2√5; 4

Lời giải:

Ta có: (2√5)² = 2².5 = 4.5 = 20

4² = 16

Vì 14 < 16 < 20 nên √14 < √16 < √20 => √14 < 2 < 2√5

Vậy số lớn nhất trong các số đã cho là 2√5

Dạng 4: Tính giá trị biểu thức khi có căn bậc hai.

Phương pháp giải: Với a≥ 0 ta có √a² = a và (√a)² = a

Ví dụ 1: Tính

a) √0,36                  b) (√6)²                 c) 

Lời giải:

a) Ta có:√0,36 = √(0,6)² = 0,6

b) Ta có: (√6)² = 6

c) Ta có: 

Ví dụ 2: Tính các giá trị biểu thức sau:

Lời giải:

Dạng 5: Tìm điều kiện để căn có nghĩa.

Phương pháp giải:

Biểu thức √A có nghĩa khi và chỉ khi A ≥ 0

Chú ý: Với a là số dương ta luôn có

x² ≤ 0 ⇔ -a ≤ x ≤ a

Ví dụ: Tìm điều kiện để căn có nghĩa

Lời giải:

a) Ta có để  có nghĩa

⇔ 

Vì – 2 < 0 nên để 

thì 3x – 1 < 0( do mẫu số phải khác 0 nên 3x – 1 ≠ 0 )

3x – 1 < 0

⇔ 3x < 1

⇔ 

Vậy  thì căn có nghĩa

b) Ta có 

Xét x² – 2x + 4

= x² – 2x + 1 + 3

= (x² – 1) + 3 ≥ 3 > 0 với mọi x ∈ R

Do đó 

⇔ 3x – 2 ≥ 0

⇔ 3x ≥ 2

⇔ x ≥ 2:3

⇔ 

Vậy  thì căn đã cho có nghĩa

Dạng 6: Tìm giá trị của x thỏa mãn biểu thức cho trước

Phương pháp giải:

+ x² = a² ⇔ x = ±a

+ Với số a ≥ 0, ta có √x = a ⇔ x = a²

Ví dụ 1: Tìm x biết:

a) 16x² – 25 = 0

b) 

Lời giải:

a) 16x² – 25 = 0

⇔ 16x² = 0 + 25

⇔ 16x² = 25

⇔ x² = 25:16

Vậy x 

b) 

Điều kiện xác định: 

⇔ x  ( thỏa mãn điều kiện)

Vậy x  .

Dạng 7: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện của căn.

Bước 2: Xét biểu thức trong căn để đưa về biểu thức có thể đánh giá được lớn nhất nhỏ nhất như dùng hằng đẳng thức…

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của 

Lời giải:

Ta có:

x² – 6x + 13 = x² – 2.x.3 + 9 + 4

= x² – 2.x.3 + 3² + 4

= (x – 3)² + 4

Vì (x – 3)² ≥ 0

⇔ (x – 3)² + 4 ≥ 0 + 4

⇔ (x – 3)² + 4 ≥ 4 > 0 Với ∀x ∈ R

Căn luôn có nghĩa

Mặt khác:

Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ x – 3 = 0 ⇔ x = 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của căn bằng 2 khi x = 3

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của căn 

Lời giải:

Ta có:

x² – 2x + 3

= x² – 2x + 1 + 2

= (x – 1)² + 2

Vì (x – 1)² ≥ 0

(x – 1)² + 2 ≥ 2 > 0

Lại có:

Dấu bằng xảy ra khi:

(x – 1)² = 0

⇔ x – 1 = 0

⇔ x = 1

Vậy giá trị lớn nhất của căn đã cho là  khi x = 1

Một số bài tập nâng cao về căn bậc hai

Bài 1

Cho các số ; 6 ;; -5 ; ; ; 8. Trong các số đã cho, hãy:

a) Tìm số nhỏ nhất;

b) Tìm số lớn nhất;

c) Tìm số dương nhỏ nhất.

Gợi ý đáp án

a) Trong các số trên, số nhỏ nhất là  ;

b) Trong các số trên, số lớn nhất là 8;

c) Trong các số trên, số dương nhỏ nhất là  .

Bài 2

Tính cạnh của một hình vuông, biết diện tích hình vuông đó bằng diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng 12,5m và chiều dài 50m.

Gợi ý đáp án

Gọi cạnh hình vuông là x, khi đó  = 12,5 . 50 , từ đó tính được x = 25.

Bài 3

Gọi x là số nguyên dương lớn nhất thoả mãn  Hãy tính .

Gợi ý đáp án

Với x là số nguyên dương thì:

Vậy .

Bài 4

Tìm số x không âm, biết:

a) 2 = 18;

b) 5 > 30;

c) 7 < 21.

Gợi ý đáp án

a) x = 81;

b) x > 36;

c) 0 ≤ x < 9.