Công thức phương trình bậc 2 và nghiệm phương trình bậc hai

Trước mỗi chuyên đề mới, chúng tôi đều có những bài giảng và cung cấp kiến thức ôn tập cũng như củng cố kiến thức cho các em học sinh. Hôm nay, chúng ta sẽ đến với chuyên đề về Phương trình bậc hai, cách giải phương trình bậc hai. Đây là một kiến thức cơ bản rất quan trọng và là tiền đề cho nhiều dạng toán phía sau. Đặc biệt chúng còn thường xuyên xuất hiện trong các bài thi. Chính vì vậy, các em cần học kỹ dạng toán này. Cùng xem ngay bài viết dưới đây của trường THPT Lê Hồng Phong nhé!

Phương trình bậc 2 là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức nghiệm của phương trình bậc 2, chúng ta cần hiểu phương trình bậc 2 là gì, có dạng thế nào. Phương trình bậc hai hay còn được gọi là phương trình bậc hai 1 ẩn. Đây là phương trình gồm 1 ẩn số, được tổng quát dưới dạng:

ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)

Trong đó: a, b, c là các số thực được cho trước, x là ẩn số phải đi tìm và a phải là một số khác 0. Bởi nếu a = 0 thì phương trình trên sẽ trở về phương trình bậc 1 có một ẩn số.

Với dạng phương trình này sẽ có nhiều dạng bài tập khác nhau. Tuy nhiên, nhìn chung, các dạng bài tập đều quy về việc tìm nghiệm của phương trình cho trước. Tập nghiệm có thể gồm 1 hoặc nhiều nghiệm, miễn sao thỏa mãn phương trình.

Công thức nghiệm của phương trình bậc 2

Sau khi đã tìm hiểu về phương trình bậc 2, chắc hẳn bạn đang thắc mắc công thức nghiệm của phương trình bậc 2 thế nào. Công thức giải phương trình bậc 2 dạng  ax2 + bx +c = 0 (a ≠0) có Δ = b2 – 4ac sẽ có 3 trường hợp:

• Δ = 0: khi đó phương trình sẽ có nghiệm kép hay còn gọi là 2 nghiệm.
• Δ > 0 thì có 2 nghiệm khác nhau là x1 và x2, được tính theo công thức (−b+/-√ Δ)/2a.
• Trường hợp Δ < 0 thì phương trình bậc 2 kể trên vô nghiệm, tức là phương trình không có số nào thỏa mãn để 2 vế bằng nhau.

Trong trường hợp 2 số thực a,c trái dấu thì phương trình sẽ luôn có 2 nghiệm phân biệt nhau, tức là Δ > 0.

Định lý Vi-et trong phương trình bậc hai

Nhắc tới phương trình bậc 2 và công thức giải phương trình bậc 2, chúng ta không thể không nhắc tới định lý Viet. Đây là một định lý quan trọng, liên quan tới nhiều dạng bài tập của phương trình bậc 2.

Như đã giới thiệu ở trên, phương trình bậc 2 có dạng: ax2 + bx +c = 0 (a ≠0) sẽ có tối đa 2 nghiệm, gọi là x1 và x2. Khi đó, x1 và x2 sẽ thỏa mãn đồng thời cả 2 điều kiện, đó là:

• x1 + x2 = -b/a
• x1x2 = c/a

Khi làm bài tập về phương trình bậc 2, bạn có thể áp dụng định lý viet bằng cách biến đổi biểu thức để xuất hiện x1 + x2 và x1x2.

Bạn cũng có thể áp dụng định lý Viet đảo với 2 số x1 và x2 thỏa mãn 2 điều kiện:

• x1 + x2 = S
• x1x2 = P

Trong đó: cả x1 và x2 đều là nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0.

Nhắc tới định lý Viet, chúng ta không thể bỏ qua ứng dụng của định lý này. Với phương trình bậc 2, bạn có thể dễ dàng tính được nghiệm của phương trình mà không cần áp dụng công thức tính nghiệm với một số trường hợp đặc biệt:

• Trường hợp 1: a+b+c=0 thì phương trình có 2 nghiệm là x1 = 1 và x2 = c/a.
• Trường hợp 2: a-b+c=0 thì phương trình có 2 nghiệm là x1 = -1 và x2 = -c/a. (Đây là trường hợp ngược lại của trường hợp 1, bạn cần nhìn kỹ dấu để tránh nhầm lẫn).

Một số dạng toán giải phương trình bậc 2 một ẩn

Sau khi tìm hiểu công thức nghiệm của phương trình bậc 2, bạn cần lưu ý tới các dạng bài tập. Mỗi dạng bài tập sẽ có một phương pháp giải khác nhau. Áp dụng đúng phương pháp sẽ giúp bạn tiết kiệm thời gian và giải bài tập chính xác hơn.

Cụ thể, hiện nay phương trình bậc 2 có các dạng bài tập chủ yếu như:

1. Sử dụng công thức để giải phương trình bậc 2

Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc 2 đầy đủ.

Phương pháp:

• Xác định phương trình bậc 2 có dạng ax2 + bx + c với a≠0.
• Tính Δ, biện luận Δ.
• Suy ra nghiệm của phương trình.

2. Quy về phương trình bậc 2

Đây là dạng toán phương trình trùng phương, đưa phương trình bậc 4 về phương trình bậc 2.

Phương pháp:

• Đặt t = x2 (t ≥ 0), đưa về dạng phương trình bậc 2: at2 + bt + c = 0.
• Giải phương trình bậc 2 theo t, kiểm tra t có thỏa mãn điều kiện (t ≥ 0) hay không. Sau đó suy ra nghiệm x của phương trình.

Ví dụ: Giải phương trình bậc 2 sau: x4 – 3×2 + 2 = 0

Giải:

Ta có x4 – 3×2 + 2 = 0 (*)

– Đặt t = x2 (t ≥ 0), ta có (*) <=> t2 – 3t + 2 = 0

– Ta thấy a + b + c = 1 + (-3) + 2 = 0 => phương trình có nghiệm là t = 1 hoặc t = 2 (thỏa mãn điều kiện (t ≥ 0)).

– Với t = 1: x2 = 1 => x = + 1 hoặc x = -1.

– Với t = 2: x2 = 2 => x = √2 hoặc x = -√2.

Kết luận nghiệm của phương trình x = + 1 hoặc x = -1 và x = √2 hoặc x = -√2.

3. Nhẩm nghiệm phương trình bậc 2

Nhẩm nghiệm của phương trình có dạng đặc biệt

Nếu phương trình bậc 2 có: a + b + c = 0 (với a, b, c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0) thì nghiệm của phương trình là:

x1 = 1; x2 = c/a

Nếu phương trình bậc 2 có: a – b + c =0 (với a, b, c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0) thì nghiệm phương trình là:

x1 = – 1; x2 = – c/a

Ví dụ: Giải phương trình bậc 2 sau:  3×2 – 4x + 1 = 0

Giải:

Nhận thấy vì a + b + c = 3 + (-4) + 1 = 0 => phương trình có nghiệm là:

x = 1 và x = c/a = 1/3.

Lưu ý: Nếu gặp trường hợp có thể đưa về dạng hằng đẳng thức thì chúng ta giải nghiệm phương trình bậc 2 nhanh hơn. Chẳng hạn như phương trình

x2 – 2x + 1 có a + b + c = 0 được đưa về dạng hằng đẳng thức là (x – 1)2 = 0 => x = 1

4. Xác định tham số m thỏa mãn điều kiện nghiệm số

Đưa phương trình về dạng ax2 + bx + c = 0 (với a≠ 0) kể cả với ẩn m.

Dựa theo điều kiện có nghiệm, hay vô nghiệm hay có nghiệm kép để tìm điều kiện của Δ.

Dựa theo điều kiện của Δ để rút ra điều kiện của ẩn m.

Giải nghiệm phương trình chứa ẩn m như bình thường.

Dựa theo điều kiện nghiệm số của đề bài để tính ẩn m.

Ví dụ:

Cho phương trình 3×2 -2(m + 1)x + 3m – 5 = 0. Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp 3 nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

Giải:

– Ta có: 3×2 -2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 (*)

– Theo yêu cầu đề bài: để phương trình có một nghiệm gấp 3 nghiệm kia có nghĩa là phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì Δ’ > 0

<=> (m + 1)2 -3.(3m – 5) > 0

<=> m2 + 2m + 1 – 9m + 15  > 0

<=> m2 -7m + 16  > 0

<=> (m – 7/2)2 + 15/4 > 0

Ta thấy, Δ’ > 0 với mọi m ∈ R nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt.

<=> m2 + 2m + 1 = 4(3m – 5)

<=> m2 -10m + 21 = 0

<=> m = 3 hoặc m = 7

+ TH1: Với m = 3, phương trình (*) trở thành 3×2 – 8x + 4 = 0 có hai nghiệm là x1 = 2/3 và x2 = 2 thỏa mãn điều kiện.

+ TH2: Với m = 7, phương trình (*) trở thành 3×2 – 16x + 16 = 0 có hai nghiệm là x1 = 4/3 và x2 = 4 thỏa mãn điều kiện.

Kết luận: m = 3 thì phương trình có 2 nghiệm là 2/3 và 2;  m = 7  thì phương trình có 2 nghiệm là 4/3 và 4.

5. Phân tích thành nhân tử

Phương trình bậc 2 ax2 + bx + c = 0 mà khuyết hạng tử tự do, có nghĩa là c = 0. Khi đó phương trình có dạng ax2 + bx = 0.

Lúc này ta phân tích vế trái thành nhân tử rồi tính x.

Ví dụ: Giải phương trình sau:

7×2 – 4x = 0

Giải: 

7×2 – 4x = 0

<=> x(7x – 4) = 0

<=> x = 0 hoặc 7x – 4 = 0

<=> x = 0 hoặc x = 4/7

6. Xác định dấu các nghiệm phương trình bậc 2

Bài tập áp dụng giải phương trình  bậc hai

Giải các phương trình bậc hai sau:

a. 2×2–7x+3=0

b. 6×2+x+5=0

c. y2–8y+16=0

Cách giải:

Lời kết

Trên đây trường cấp 3 Lê Hồng Phong đã giúp bạn tổng hợp kiến thức về phương trình bậc hai và công thức nghiệm phương trình bậc 2 đơn giản. Các bạn có đóng góp hay băn khoăn thắc mắc điều gì hãy bình luận bên dưới để được giải đáp các thắc mắc. Nếu thấy thông tin mà chúng tôi chía sẻ hữu ích, đừng quên chia sẻ với bạn bè của mình nhé! Cảm ơn bạn đọc đã quan tâm và theo dõi bài viết.